게임 수학 - 삼각함수

“이득우의 게임수학” 책을 읽고 중요하다고 생각하는 부분을 정리한 내용들입니다!

 

 

벡터의 덧셈, 곱셈 연산을 통해 직선적인 움직임을 표현 했다면 ‘회전’을 위해 삼각함수를 사용할 수 있다.

회전은 원의 궤적을 따라 이동하는 움직임 이기 때문에 원과 밀접한 연관이 있는 삼각함수가 이용이되고 이에 대해 알아보고자 한다.

삼각 함수

삼각비

• 직각 삼각형에서 두 변을 뽑아 각가의 비례관계를 나타냄

삼각함수

• 직각 삼각형을 데카르트 좌표계에 배치하여 사잇각의 범위를 실수 전체로 확장한 대응 관계
• 단위 원(반지름의 길이가 1)을 사용하면 쉽게 표현가능함
• 삼각함수의 성질
  • sin, cos 함수는 -1, 1사이를 반복하는 주기 함수임
  • $360^\circ$주기로 반복 됨
  • cos 함수는 좌우 대칭 (짝함수, 우함수)
  • sin 함수는 원점 대칭 (홀함수, 기함수)
  • tan 함수의 정의역에는 cos값이 0이 되는 구간은 포함 되지 않느다 (분모가 0이 될 수 없기 때문)

각의 측정

• 각도법(degree)
  • 일상 생활에서 사용하는 각의 측정법
  • 360이라는 숫자의 약수가 많아서 정하게 되었음
  • 표준으로 사용하기에는 너무 큰 숫자
• 호도법(radian)
  • 호의 길이를 기준으로 각을 측정하는 방법
    • 호의 길이가 1이되는 각을 기준으로 각을 측정
    • $\pi(rad) = 180^\circ$

물체의 회전

• 물체를 회전 시키는 것을 해당 물체의 위치를 기술하는 벡터 공간 전체를 회전하는 것과 같다고 볼 수 있다.
  • 물체의 위치를 나타내는 벡터는 표준 기저 벡터의 선형 결합을로 나타내어 짐
  • 표준 기저 벡터를 회전하고자하는 각도만큼 회전 시켜서 선형결합 식에 치환
    • $\vec{u} = x \cdot e_1 + y \cdot e_2$
    • $\vec{u^\prime} = x \cdot (\cos\theta, \sin\theta) + y \cdot (-\sin\theta, \cos\theta)$

삼각함수의 역함수

• 특히 tan의 역함수가 유용하게 사용됨
• 벡터 (x, y)로 부터 쉽게 사잇각을 구할 수 있음
  • artan(y / x)로 사잇각을 구할 수 있음
  • atan2(y, x)함수를 통해 모든 사분면의 각을 나타 낼 수 있음