게임 수학 - 수의 구조 및 함수

“이득우의 게임수학” 책을 읽고 중요하다고 생각하는 부분을 정리한 내용들입니다!

 

오늘 정리할 부분은 중, 고등학교 수학에서 배웠던 내용인데 지금와서 다시 보니 그때는 무조건 외우기만 했던 기억이 난다.

왜 필요한지도 모르고 어떤 의미 인지도 모르고 받아들였던 내용같은데 지금에서라도 중요함을 알게 되었다는 걸 다행으로 생각했다.

가장 와닿았던 문장은 “모니터에 표현되는 가상의 공간의 본질은 결국 체계화된 수들이 만들어내는 질서에 불과하다” 라는 내용이었다.

이러한 수의 체계를 바탕으로 현실 세계의 질서를 가상의 세계에 구현해 내면 재밌을 것 같다는 생각으로 간단한 오브젝트 렌더러를 만들어 보는 프로젝트를 시작하게 되기도 하였다. (해당 프로젝트 관련 내용은 다른 글에서 써볼예정..)

수와 집합

수집합을 정의 하는 방법

• 소박한 집합론
  • 인간의 언어로 정의함
    • 예시 : 자연수 → 물건을 세거나 순서를 지정하기 위해 사용하는 수의 집합
  • 문제점으로 인간의 보편적 관념에 의존할 수 밖에 없다는 점
    • 물건을 세다는 개념부터 정의할 필요가 생김
• 공리적 집합론
  • 공리를 기반으로 대상으로 구분하는 방법
    • 공리 : 증명할 필요가 없는 기본 명제
  • 연산에 대한 공리를 기반으로 수를 분류함

기본 적인 연산의 종류, 성질

• 종류
  • 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 → 사칙 연산
    • 2개의 원소를 사용해 새로운 원로를 만들어내어 이항연산이라고 함
• 성질
  • 집합에 닫혀있다
    • 같은 집합에 속한 원소를 이항연산했을 때 결과물 또한 해당 집합에 속할 때
  • 교환 법칙(commutative law)
    • 임의의 두수를 연산할 때, 연산 순서에 관계없이 동일한 결과가 나옴
    • a + b = b + a
  • 결합 법칙(associative law)
    • 연산이 2번이상 연속 될 때, 앞의 연산을 먼저 계산한 결과가 뒤의 연산을 계산한 결과와 같음
    • (a + b) + c = a + (b + c)
  • 분배 법칙(distributive law)
    • 서로다른 2가지 연산에 대해서 좌 분배법칙와 우 분배법칙을 모두 만족할때
    • 좌 : a * (b+c) = ab + ac
    • 우 : (b+c) * a = ba + bc
  • 항등원(Identity)
    • 임의의 수와의 연산결과를 항상 동일한 수로 만들어 주는 특별한 수
    • 덧셈 연산에 대한 항등원 : 0
  • 역원(Inverse)
    • 임의 수와 의 연산결과를 항상 항등원으로 만들어주는 특별한 수
    • 덧셈 연산에 대한 항등원 : 임의의 수의 음수(opposite number) : 반대수
    • 곱셈에 대한 역원 : 역수 (reciprocal)
  지금 까지의 성질을 바탕으로 공리를 구축함 (11가지)

체의 구조

• 11가지 연산에 대한 공리를 덧셈과 곱셈에 대해 만족하는 수의 집합을 체의 구조를 가진다고 한다.
  • 만족하는 수의 집합 : 유리수, 실수
• 체의 구조를 가지는 수는 4칙연산을 자유롭게 수행할 수 있다.

수의 표현

• 실수를 시각적으로 수직선으로 표현할 수 있음
  • 하나의 원소를 수직선상에서 방향과 크기를 가진 화살 표로 표현할 수 있음
  • 덧셈은 평행 이동을 나타낼 수 있고 곱셈은 배율로 늘리는 것을 시각적으로 표현할 수 있음

함수

개념

• 두집합에서 첫 번째 집합의 모든 원소가 빠짐없이 두번째 집합의 어떤 원소로 대응 되는 관계
• 두집합에서 첫번째 집합의 원소는 두번째 집합의 한 원소에만 대응되어야함
  • 일대다 대응은 안됨
• 첫번째 집합을 정의역(domain)
• 두번째 집합을 공역(codomain)
• 정의역에 대응되는 공역의 원소만 모은 부분 집합 치역(range)

종류

• 전사 함수(surjection)
  • 공역과 치역이 같은 함수
• 단사 함수(injection)
  • 정의역과 공역의 요소가 일대일 대응되는 함수
• 전단사 함수(bijection)
  • 정의역과 공역의 모든 요소가 빠짐없이 일대일 대응되는 함수

연산

• 합성 연산 (function composition)
  • 2개의 함수를 연쇄적으로 이어 하나의 함수로 만드는 연산
  • (g ◦ f)(x)
    • f함수가 먼저 수행되는 함수임
    • g(f(x))로 표현 가능
    • 결합 법칙이 성립함

항등함수와 역함수

• 항등함수(identity function)
  • 정의역과 공역이 동일한 값으로 대응되는 함수
• 역함수
  • 임의의 함수와 합성 했을 때 항등함수를 만드는 함수
  • 공역에서 정의역으로 대응하는 함수
  • 주의점
    • 모든 함수가 역함수를 갖지 않는다
    • 전단사 함수만 역함수를 가진다

곱집합(product set)

• A X B
  • 곱 집합의 요소는 각 집합의 원소를 순서쌍으로 묶어서 표현함
    • (a, b)
• 실수집합을 직선으로 표현한 수직선을 서로 수직으로 배치하면 실수 집합 R을 확장하여 2차원 평면을 나타낼 수 있음.
• 평면에 실수 집합을 다시 곱집합으로 설정하면 3차원 공간을 나타낼 수 있음