게임 수학 - 벡터

“이득우의 게임수학” 책을 읽고 중요하다고 생각하는 부분을 정리한 내용들입니다!

 

이전에 수의 구조와 함수에 대한 지식을 바탕으로 1차원에서 벗어나 2차원에서 물체를 표현할 수 있는 공간인 벡터 공간에 대해서 정리를 해보려고 하고 벡터 공간 내 원소인 벡터와 벡터 사이의 연산에 대해서 정리해보려고 한다.

벡터 공간과 벡터

벡터 공간(vector space)

• 정의
  • 두개 이상의 실수를 곱집합으로 묶어 형성된 집합 (공리적 집합론 관점)

벡터 (vector)

• 정의
  • 벡터 공간의 원소
  • 표현
    • v = (x, y)

벡터 공간의 연산

• 벡터 끼리의 덧셈
  • 벡터 공간에서 각 축에 대해 독립적으로 평행이동 하는 작업
• 스칼라와 벡터의 곱셈
  • 기좀 벡터와 평행하고 원점을지나는 직선을 만듬

벡터의 크기와 이동

• 크기
  • 수직선에서와 동일하게 원점으로 부터의 최단 거리를 의미함
  • 피타고라스의 정리를 통해 거리를 측정할 수 있음
  • norm이라는 용어로 불리기도함
  • 크기가 1인 벡터를 단위 벡터라고 함 (unit vector)
  • 어떤 벡터를 크기가 1인 벡터로 만드는 과정을 정규화 (normalize)라고 함
    • 임의의 벡터를 해당 벡터의 크기로 나누면 (스칼라곱) 단위 벡터로 만들 수 있음

벡터의 결합과 생성

• 선형 연산
  • 선형성에 대한 자세한 내용은 행렬 설명 참고
    • 링크
  • 벡터 끼리의 합과 스칼라와 벡터의 곱은 선형성이 있어 선형 연산이라고 함
• 선형 결합
  • 선형 연산을 사용해 n개의 스칼라와 n개의 벡터를 결합해 새로운 벡터를 만드는 수식을 선형 결합이라고 함
    • a1v1 + a2v2 + a3v3 = v
• 선형 종속 관계
  • 선형 결합 수식에서 a의 값이 0이 아님에도 0벡터를 만들 수 있다면 선형 결합에 사용된 벡터들은 서로 선형 종속 관계에 있다고 표현함
  • 벡터가 서로 평행한 관계에 있음
• 선형 독립 관계
  • 선형 결합을 했을 때 0벡터가 나오기 위해서 모든 a의 값이 0이어야 한다면 사용된 벡터들은 선형 독립 관계에 있다고 표현함
  • 선형 독립의 관계가 유지 되기 위해서는 2개의 벡터만 사용되어야함
• 선형 관계의 중요성
  • 선형 독립 관계에 있는 벡터를 선형 결합하면 벡터 공간에 속한 모든 벡터를 생성할 수 있음
• 벡터 공간 용어
  • 기저 (basis)
    • 선형 독립 관계를 가지는 벡터의 집합
      • 에시 : (1, 0), (0, 1)
    • 기저 벡터 (basis vector)
      • 기저에 속한 원소
    • 기저 벡터를 변경하면 기저 벡터로 부터 만들어진 벡터 공간의 모든 원소가 바뀐다고 볼 수 있음
      • 선형 변환의 기본 원리
  • 차원 (dimension)
    • 기저 집합 원소의 갯수
    • 평면을 나타내는 기저 집합의 경우의 수는 무수히 많지만 기저 집합의 원소의 갯수는 2개임
    • 이때 평면에 대응 되는 벡터 공간응 2차원으로 정의 할 수 있음
  • 표준 기저 (standard basis)
    • n 차원을 구성하는 다양한 기저 중 한 축만 사용하는 단위 벡터 (1, 0) , (0, 1) 로 구성된 집합
    • 표현
      • e1 = (1, 0)
      • e2 = (0, 1)