게임 수학 - 내적(Dot Product)

“이득우의 게임수학” 책을 읽고 중요하다고 생각하는 부분을 정리한 내용들입니다!

 

내적 연산이 어떤 기하학적 의미를 가지는지 정리해 보고 주로 사용되는 곳을 정리해 보겠습니다.

내적

벡터의 내적

• 계산 방법
  • $\vec{u} = (a, b)$
  • $\vec{v} = (c, d)$
  • $\vec{u} \cdot \vec{v} = a c + b d$
• 성질
  • 교환 법칙 성립
    • 계산 과정에서 스칼라 곱과 덧셈으로 이루어져 있으므로
  • 덧셈에 대한 분배 법칙 성립
  • 같은 벡터를 내적 했을 때 벡터 크기의 제곱

내적과 삼각함수와의 관계

• 두 벡터의 사잇각에 대한 cos 함수와 비례하는 관계를 가짐
  • $\vec{u} = (a, b)$
  • $\vec{v} = (c, d)$
  • $\vec{u} \cdot \vec{v} = \left\vert \vec{u} \right\vert\left\vert \vec{v} \right\vert\cos\theta$
• 스칼라곱과 덧셈 만을 이용하여 벡터가 이루는 사잇각인 cos 값을 구해낼 수 있음
• 0벡터가 아니라는 가정하에 두 벡터의 내적이 0이라는것은 벡터끼리 이루는 각이 90도라는 것을 알 수 있음
  • 벡터의 직교성 판단에 용이함
  • 두 표준 기저 벡터는 항상 직교하기 때문에 내적 값도 0

내적의 활용

• 시야각
  • 어떤 물체가 시야각 안에 들어오는지 판단할 수 있음
    1. 카메라가 바라볼 수 있는 시야각에 대한 cos 값을 미리 계산해 놓는다
    2. 카메라의 시선 벡터(f)와 카메라원점에서 물체를 바라보는 방향 벡터(v)를 모두 정규화 한다.
    3. f와 v 벡터의 내적 값과 미리 계산 해 놓은 시야각에 대한 cos 값의 대소 비교를 통해 물체가 시야각 내에 있는지 밖에 있는지 판단 가능
       • cos 함수 그래프 활용
• 투영 벡터 구하기
  • 카메라에서 물체 까지의 거리 이외에도 카메라에서 물체까지의 깊이 값이 필요한 경우 사용
  • 투영 벡터
    • $(\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{v}$